Modelos M/M/1k y M/M/s/k

 

Modelo M/M/1k 

Este tipo de sistemas de colas se caracteriza por tener una cola finita, cómo indica la cuarta inicial de la notación de Kendall.

El número máximo de clientes en el sistema en estos modelos se encuentran limitado a k, que coincide con la suma del número de servidores y el tamaño de la cola, por lo que la capacidad de la cola es (k - s)

Este modelo es aquel en el que un servidor atiende todas las peticiones, por lo general este modelo se etiqueta como M/M/s/k para un número genérico de servidores.

Otra interpretación de este sistema es aquel en la que los clientes que llegan dejan la cola a partir de una determinada longitud ya que no están dispuestos a soportar una larga espera.

En esta situación, si el sistema está lleno (la capacidad es k) no se permite la entrada de nuevos clientes al sistema. En consecuencia, la tasa de llegada efectiva no es constante y varía con el tiempo ( dependiendo si el sistema está o no lleno).

Modelo de colas M/M/s/k 

En algunos sistemas la cola no puede albergar a un número indefinido de clientes. En este caso se dice que el sistema es de capacidad limitada.

El límite lo fija el parámetro k que incluye a los servidores.

Video de referencia: Jecsurys Gonzalez

https://youtu.be/PGVYCfbFPsg

Referencias:

Introduccion a la Investigacion de Operaciones. Frederick S. Hillier, Gerald J. Liberman.

Operations research. Principles and Practice. Phillips Ravindran Solberg.

Investigacion Operativa. Quintin Martin Martin, M. Teresa Santos Martın, Yanira del Rosario De Paz Santana.

Infinitos

 

Proceso de nacimiento y muerte (infinito)

En la mayoría de los modelos de colas, las entradas y salidas del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. El proceso explica como varia el estado del sistema N(t) al aumentar t. En este contexto,

N(t) estado del sistema en tiempo t ≡ Número de cliente en el sistema

Nacimiento ≡  Llegada de clientes al sistema

Muerte ≡  Salida de clientes una vez servidos

·         La distribución del tiempo que falta para la llegada es exponencial  n Exp ( ) λ  con n 0, 1, 2,... =, siendo λn  la tasa de llegada de clientes al sistema.

·         La distribución del tiempo que falta para la salida es exponencial  n Exp ( ) μ  con n 0, 1, 2,... =, siendo μn  la tasa de salida de clientes del sistema.

La transición del estado será:   nàn1  un nacimiento

                                                       n àn1  una muerte   

Los parámetros λn  y μn  son tasas medias en la distribución exponencial, en ocasiones estos valores son constantes ∀μ.

La llegada como la salida son procesos de Poisson e independientes, luego de un estado dado se puede pasar a dos posibles estados.

Tasa media de llegada al estado n ≡ λn-n1Pn-1 + μn+1Pn+1

Tasa media de salida del estado n ≡ λnPn + μnPn

pn ≡ Probabilidad de que haya n clientes en el sistema de manera estacionaria

Por ser el sistema estacionario, la tasa media de llegada es igual a la tasa media de salida para cualquier estado n, es decir, λn-n1Pn-1 + μn+1Pn+1= λnPn + μnPn

Video de referencia: Luis Bravo

 https://www.youtube.com/watch?v=YIjHIhMYdyY

Referencia: https://www.estadistica.net/IO/7-1-TEORIA-COLAS.pdf

Modelo M/M/1

 

En el modelo simple M/M/1  el sistema de espera se ve caracterizado por los tiempos de llegada y los tiempos de servicio que se distribuyen de manera exponencial y tienen un único servidor. Según sus características la disciplina de la cola es FIFO (First In First Out "Primero en Entrar Primero en Salir") y el tamaño de la población de entrada es infinito, es decir, el numero de clientes en el sistema, no afecta la tasa de llegada. 

Modelo M/M/1 

El tiempo de llegadas se distribuye según Exp ( ) λ 

El tiempo de servicio se distribuye según Exp ( ) μ

 Un único servidor s=1

Ejemplo: 

  En el mostrador de facturación de una aerolínea llega un promedio de 45 clientes por hora, cuando su capacidad media es de 60 clientes por hora. Si un cliente espera una media de 3 minutos en la cola, se pide: 

• a)  Tiempo medio que un cliente pasa en la facturación.
• b)  Número medio de clientes en la cola.
•  c) Número medio de clientes en el sistema en un momento dado.

R:

 a)  La información de la que se dispone es:

 Media de llegada de clientes:  λ= = = 45 clientes/hora 45 / 60 0,75 clientes / minutos Media de servicio a clientes:  μ= = = 60 clientes/hora 60 / 60 1 clientes / minutos q Tiempo promedio de espera en la cola:  W 3 =  minutos

 El tiempo promedio que un cliente pase en el sistema 

 s q 1 W W= + μ   es: s 1 W 3 4 minutos 1 =+ =  (3 minutos en la cola  +  1 minuto en el servicio) 

b)  El número promedio de clientes en la cola  q L  se puede calcular: q q L W 0,75 3 2,25 clientes/minuto =λ = = x 2 2 q 0,75 L 2,25 clientes/minuto .( ) 1. (1 0,75) λ == = μ μ−λ − con lo cual, puede haber más de dos clientes en la cola. c)  El número promedio de clientes en el sistema  s L  es: s 0,75 L 3 clientes/minuto 1 0,75 λ == = μ−λ − o también,   s s L W 0,75 =λ = =  x 4 3 clientes / minuto.

Video de referencia: Barbara Delgado

https://youtu.be/qKIFWKvY4WI

Referencia: https://www.estadistica.net/IO/7-1-TEORIA-COLAS.pdf

proceso de nacimiento y muerte

 

Este tipo de procesos, se comenzó a utilizar inicialmente en demografía para modelar el tamaño de una población. Constituyen la herramienta básica para modelar el tráfico en distintos departamentos siendo así: 

- Un nacimiento representa el acceso de un cliente a un sistema (por ejemplo, un paquete de datos que accede a un router) 

- Una muerte representa la salida de un cliente del sistema. 

Cuando las llegadas y salidas a un sistema se producen siguiendo patrones aleatorios, se forman lineas de espera o colas. El protocolo de servicio especifica en qué orden son atendidos los sucesivos clientes. Por tanto estos procesos constituyen la base para el modelado y gestión de tráfico, así como para el dimensionamiento de recursos en redes. 

Video de referencia : Sebastián Gutiérrez

https://youtu.be/CszWreq0kOk

Referencia:

Santiago de la fuente Fernández, año 2016, instrumentos estadísticos avanzados